数字源于实际问题:记录财产(如动物或土地)和金融交易(如税收和簿记)。已知最早的数字符号，除了简单的计数符号如||||，是公元前8000年美索不达米亚的会计师用各种形状的粘土印章记录的。考古学家发现，每种形状都代表一种基本商品——一颗球形谷物、一个鸡蛋、一罐油等等。为了安全起见，这些海豹被粘土包裹着。但是打开一个陶制的包裹，看看里面有多少印章，是一件很麻烦的事情，所以古代的会计会在包裹的外面做标记，以显示里面是什么。最终，他们意识到一旦你有了这些符号，你就可以扔掉这些印章。结果就是一系列用于书写数字的符号——这就是后来所有数字符号的起源，或许也是书写的起源。

数字伴随着算术:数字的加减乘除方法。算盘之类的工具用来做算术，结果可以用符号记录。过了一段时间，人们找到了一种不用机械辅助就可以使用这些符号进行计算的方法，尽管算盘在世界上许多地方仍被广泛使用，而在其他大多数国家，电子计算器已经取代了纸笔计算。

算术在其他方面也被证明是必不可少的，尤其是在天文学和测量学方面。随着物理科学的基本轮廓开始显现，科学家需要手工进行更精细的计算。这通常会占用他们大量的时间，有时是几个月或几年，并阻止他们进行更多的创造性活动。最后，必须加快“计算”的过程。人们发明了无数的机械装置，但最重要的突破是一个概念上的突破:先思考，再计算。运用巧妙的数学可以使困难的计算变得容易得多。

这门新数学迅速发展起来，具有深刻的理论和实践意义。今天，这些早期的思想已经成为整个科学领域不可或缺的工具，甚至延伸到心理学和人文学科。它们被广泛使用，直到20世纪80年代，计算机使它们在实际应用中过时，但尽管如此，它们在数学和科学中的重要性继续增长。

它的核心思想是一种叫做对数的数学技术。它的发明者是一个苏格兰人，但是一个对航海和天文学有浓厚兴趣的几何学教授用一个更好的想法取代了这个苏格兰人聪明但有缺陷的想法。

615年3月，亨利·布里格斯给詹姆斯·阿瑟写了一封信，信中记录了科学史上的一个重要事件:

马尔金斯顿的领主纳珀让我的头和手开始研究他那令人钦佩的新对数。如果上帝愿意，我希望这个夏天能见到他，因为我从未见过比他的书更让我开心和惊喜的书。

布里格斯是伦敦格雷欣学院的第一位几何教授，而“纳珀，马尔金斯顿公爵”是约翰·耐普尔，第八任默西顿勋爵，默西顿现在是苏格兰爱丁堡的一部分。纳皮尔似乎有点神秘；他对神学有浓厚的兴趣，但主要侧重于《启示录》。在他看来，他最重要的著作是《圣约翰的启示》，这本书使他预言世界将在1688年或1700年终结。他被认为同时从事炼金术和巫术。有传言说他走到哪里都带着一只装在小盒子里的黑蜘蛛。

纳皮尔把大部分时间花在数学上，尤其是用来加速复杂算术计算的方法。纳皮尔的发明之一是一组十根标有数字的棍子，简化了长乘法的过程。使他出名的发明创造了一场科学革命:1614年对数的经典描述。

数学家们，在数学艺术的实践中，没有什么比乘除、比较、平方根、立方根等繁琐工作的巨大延迟更无聊的了。我一直在想，有什么安全快捷的方法可以克服这些困难？最后，经过研究，我终于找到了缩短计算的神奇方法…

当布里格斯听说对数时，他被迷住了。像他那个时代的许多数学家一样，他花了很多时间做天文计算。我们之所以知道这一点，是因为布里格斯在他写给迎来1610年的另一封信中提到了日食的计算，还因为布里格斯之前发表过两个数字表，一个与北极有关，另一个与航海有关。所有这些工作都需要大量复杂的算术和三角学知识。纳皮尔的发明将节省大量繁琐的劳动。但是布里格斯越研究这本书，就越相信纳皮尔的方法虽然好，但是他的方法是错的。布里格斯提出了一个简单而有效的改进方案，并远赴苏格兰。当他们相遇时，他们花了差不多一刻钟的时间欣赏地看着对方，然后才说了一句话。

是什么引起了这么多的好评？对于任何学习算术的人来说，一个重要的观察是加法相对容易，而乘法不容易。乘法比加法需要更多的算术运算。例如，将两个十位数相加大约需要十个简单的步骤，而乘法需要200个步骤。在现代计算机中，这个问题还是很重要的，只是现在隐藏在用于乘法的算法中。但是在纳皮尔的时代，所有这些都必须手工完成。如果有一些数学技巧，把这些讨厌的乘法运算变成漂亮又快速的加法运算，岂不是很棒？这听起来好得难以置信，但纳皮尔意识到这是可能的。诀窍是使用一个固定数的幂。

在代数中，x的未知次方可以用上标来表示。也就是说，xx = x^2，xxx = x^3，xxxx = x^4，等等。在代数中，将两个字母放在一起通常意味着它们应该相乘。比如10 ^ 4 = 10×10×10×10 = 10000。直到你找到计算10 ^ 4×10 ^ 3的简单方法，你都不需要在这些表达式上花很长时间。只管写

答案中零的个数是7，等于4+3。计算的第一步解释了为什么是4+3:我们把四个十和三个十放在一起。总之

同样，不管x的值是多少，如果我们用它的A次幂乘以它的B次幂，其中A和B都是整数，那么我们得到(a+b)次幂:

这似乎是一个无关紧要的公式，但在左边，是两个量的相乘，而在右边，主要步骤是A和B的相加，更简单。

假设你想用2.67乘以3.51。乘法结果是9.3717，两位小数是9.37。如果你试着用之前的公式呢？诀窍在于x的选择，如果我们把x取为1.001，那么一些算术就可以揭示这一点。

精确到小数点后两位。公式告诉我们2.87 × 3.41等于

小数点后两位是9.37。

计算的核心是简单的加法:983+1256 = 2239。然而，如果你检查我的计算，你很快就会意识到，如果我把问题变得困难而不是简单。要计算(1.001) 983，需要将1.001乘以自己983次。要找到983是合适的幂，你需要做更多的计算。乍一看，这似乎是一个无用的想法。

纳皮尔深刻的观点是，这种对立是错误的。但是为了克服它，我们必须计算1.001的许多次方，从(1.001) 2开始，直到(1.001)10000。然后他们可以公布所有这些权力的表格，然后去查。

真实结果需要更接近1的幂，比如1.000001。这使得表更大，大约有一百万次方。为这个表进行计算是一项巨大的任务。

在这个例子中，我们可以说983和1256的幂是我们想要相乘的数字2.67和3.51的对数。同样，2239是它们的乘积9.38的对数。把log写成缩写，我们做的是这个等式:

对任何数字A和b都有效。任意的1.001称为基数。如果用不同的底数，计算出来的对数会不一样，但是对于任何一个固定底数，一切都是一样的。

那是纳皮尔应该做的。但出于我们只能猜测的原因，他做了一些稍微不同的事情。布里格斯从一个全新的角度研究了这项技术，他发现了两种方法来改进纳皮尔的想法。

当纳皮尔在16世纪晚期开始思考数字的力量时，将乘法简化为加法的想法已经在数学家中传播开来。丹麦人采用了一种非常复杂的方法，叫做“修复法”，这种方法来源于一个涉及三角函数的公式。纳皮尔对此很感兴趣。他很聪明，意识到同样的工作可以用固定的数字幂更简单地完成。所需的表单不存在。必须有一些具有公益精神的人来做这项工作。纳皮尔自愿承担这项任务，但他犯了一个战略错误。

他用的不是略大于1的基数，而是略小于1的基数。所以幂级数一开始是一个很大的数，然后逐渐变小。这使得计算有点笨拙。

Briggs发现了这个问题，并找到了解决方案:使用比1略大的基数。他还发现了一个更微妙的问题，并处理了它。如果把纳皮尔的方法修改成有一个类似于1.000000001的幂，那么12.3456的对数和1.23456没有直接关系。所以不清楚什么时候会停。问题的根源是log 10的值，因为

不幸的是，log10很棘手，它的基数是1.000000001。10的对数是23025850929。Briggs认为如果可以选择基数使得log 10 = 1会更好。那么log10x = 1+logx，不管log1.23456是什么，只要加1就得到了log12.3456，现在对数表只需要从1到10。如果出现更大的数字，只需添加适当的整数。

Log 10 = 1，和纳皮尔一样，底数是1.000000001，然后把每个对数除以这个奇怪的数23025850929。得到的表由以10为底的对数组成，我写成log10x，它们满足了。

和以前一样，在同一时间

两年内，纳皮尔去世，于是布里格斯开始研究以10为底的对数表。1617年，他出版了《千的对数》,描述了从1到1000的整数的对数，精确到小数点后14位。1624年，他引入了算术对数，这是一种以10为底的对数表，范围从10到20000，从90000到100000。其他人很快也步了Briggs的后尘，在这个巨大的空白色中填充，开发了一些辅助表格，比如三角函数的对数，比如logsinx。

同样的对数启发思想允许我们定义正变量x的x的a次方对于a的值不是正整数，我们要做的就是使定义与方程x ax b = x (a+b)一致。为了避免麻烦，最好假设x是正的，定义x a使它也是正的。

比如什么是x ^ 0？我们知道x^1 = x，公式说x^0必须满足x ^ 0x = x(0+1)= x，除以x得到x^0 = 1。x (-1)呢？公式为

除以x得到x (1) = 1/x。

当我们考虑x (1/2)时，它开始变得更有趣，并且非常有用。它必须满足

所以x (1/2)乘以自身就是x，唯一有这个性质的数就是x的平方根，所以

同样，我们可以对任意分数p/q定义x (p/q)，然后，用分数来近似实数，我们可以定义任意实数a的x a，方程x ax b = x (a+b)仍然成立。

完整的对数表一问世，就成为科学家、工程师、测量员、航海家不可或缺的工具。他们节省了时间和精力，使答案更加准确。在早期，天文学是主要的受益者，因为天文学家通常需要进行漫长而困难的计算。法国数学家和天文学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace)说，对数的发明“把许多个月的工作缩短到了几天，使天文学家的寿命增加了一倍，使他避免了错误和厌恶”。随着机械在制造业中的应用越来越多，工程师们开始越来越多地使用数学——设计复杂的齿轮，分析桥梁和建筑物的稳定性，制造汽车、卡车、轮船和飞机。几十年前，对数是学校数学课程的重要组成部分。工程师将对数模拟计算器放在口袋里，这是基本对数方程的物理表示，供野外使用。他们称之为计算尺，并将其应用于从建筑到飞机设计的所有领域。

1630年，英国数学家威廉·奥特雷德画出了第一把带有圆形刻度的计算尺。1632年，他修改了这个设计，把两把尺子改成了直尺。这是第一个计算尺。这个想法很简单:当你把两根杆子首尾相连时，它们的长度就会相加。如果极点标有对数刻度，刻度上的数字是按照它们的对数排列的，那么相应的数字就相乘。例如，将1放在一个条形上，将2放在另一个条形上。对于第一条上的任何x，我们发现它是第二条上的2x。所以相对于3，我们找到6，以此类推。如果数字比较复杂，比如2.67，3.51，我们放置2.67的相对位置，然后读出任何相对位置为3.59的，也就是9.37。很简单。

用计算尺乘2乘3

工程师们很快就开发出一种奇妙的计算尺，用三角函数、平方根和对数-对数尺(对数的对数)来计算幂。最终，对数让位于数字计算机，但即使是现在，对数仍然在科学技术中发挥着巨大的作用，并伴随着不可分割的指数函数。对于以10为底的对数，函数是10^x；；对于自然对数，函数是e x。如果你取一个数，取对数，然后取它的指数，你就得到起始数。

既然我们有了计算机，为什么我们还需要对数呢？

2011年，日本东海岸附近发生里氏9.0级地震，引发巨大海啸，摧毁了大片人口密集区，造成约2.5万人死亡。海岸边有一座核电站，福岛第一核电站。它由六个独立的核反应堆组成。海啸来袭时，三个仍在运作；其他三个反应堆已经暂时停止运行，它们的燃料已经转移到反应堆外但在反应堆建筑内的水池中。

我不想在这里分析核能的优势或其他方面，但我确实想解释一下对数是如何回答一个重要问题的:你如何知道有多少放射性物质已经被释放，以什么形式释放，它们将在环境中停留多长时间，以及它们在哪里可能是危险的？

放射性元素衰变，也就是说通过核过程转化为其他元素，在转化过程中释放出核粒子。正是这些粒子构成了辐射。放射性水平随着时间的推移而降低，就像一个热的物体冷却时温度会降低一样:呈指数下降。因此，在适当的单位中，t时刻的放射性水平N(t)符合这个方程。

其中N_0是初始水平，k是常数，取决于所涉及的元素。更准确地说，这取决于我们所考虑的元素的形式或同位素。

测量放射性持续时间的一种简单方法是半衰期，它是在1907年首次提出的。这是初始能级n0下降到一半所需的时间。为了计算半衰期，我们解了这个方程。

同时取两边的对数。结果是

我们可以算出来，因为k是从实验中得知的。

半衰期是一种评估辐射持续时间的简便方法。例如，假设半衰期为一周。然后材料的原始辐射率在1周后减半，2周后降低到1/4，3周后降低到1/8，以此类推。降到原来的千分之一需要10周，降到百万分之一需要20周。

在常规核反应堆事故中，最重要的放射性产物是碘-131和铯-137。第一种可能导致甲状腺癌。碘-131的半衰期只有8天，所以如果有合适的药物，除非继续泄漏，否则危害不大。标准的治疗方法是给人们服用碘片，以减少身体吸收的放射性物质的量，但最有效的治疗方法是停止饮用被污染的水。

铯-137则完全不同:它的半衰期是30年。放射性水平下降到初始值的百分之一大约需要200年，所以在很长一段时间内都是危险的。反应堆事故的主要实际问题是土壤和建筑物的污染。某种程度上，去污是可行的，但代价昂贵。例如，土壤可以被移走，用手推车运输并存放在安全的地方。但是会产生大量的低放射性废物。

放射性衰变只是纳皮尔和布里格斯的对数继续为科学和人类服务的许多领域之一。它们也出现在热力学和信息论中。虽然快速计算机现在已经使对数对于它们最初的目的——快速计算——来说是多余的，但它们仍然是科学的核心，因为它们是概念性的，而不是计算性的。

对数的另一个应用来自对人类感知的研究:我们如何感知周围的世界。感知物理学的早期先驱对视觉、听觉和触觉进行了广泛的研究，他们发现了一些有趣的数学规律。

19世纪40年代，德国医生恩斯特·韦伯进行了一项实验，以确定人类的感知有多敏感。他给受试者一些手握的重物，然后问他们什么时候能感觉到一个重物比另一个重。韦伯可以计算出最小的可检测重量差异是多少。也许令人惊讶的是，这种差异并不是一个固定的数字。这取决于被比较的重量。人们感觉不到最小的差别，比如50克。他们感受到的是最小的差别，比如1%的重量。也就是说，人类感官所能察觉到的最小差异，与刺激即实际物理量成正比。

在19世纪50年代，哥斯塔夫·费希纳重新发现了同样的定律，并从数学上重新定义了它。这使他提出了一个方程，他称之为韦伯定律，但现在它通常被称为费希纳定律。它指出，感知的感觉与刺激的对数成正比。实验表明，这一规律不仅适用于我们的重量感，也适用于我们的视觉和听觉。如果我们观察一盏灯，我们感知的亮度随着实际能量输出的对数而变化。如果一个光源的亮度是另一个光源的十倍，那么无论两个光源的实际亮度如何，我们感知的差异都是恒定的。同样的原理也适用于声音的响度:十倍能量的爆炸产生的声音是固定的。

韦伯-费希纳定律并不完全准确，但它是一个很好的近似。进化过程中需要对数标度，因为外界给我们感官带来的刺激范围很广。一个声音可能不比一只在树篱间乱窜的老鼠大多少，也可能是一声雷声；我们需要听到两者。但是声级的范围是如此之大，以至于没有任何生物感觉装置能够对声音产生的能量做出反应。