不知不觉中，我们已经迎来了一年一度的“π日”(也是白色的一天)。2011年，国际数学协会正式宣布每年的3月14日为国际数学节。小学数学课本告诉我们，π的小数部分是一个无限循环的小数，不能简单地用分数来表示。所以，在π日到来之际，让我们重温一下小学数学知识，揭开π的神秘面纱。

在一个不存在的网站上涂鸦庆祝π日，2018年3月14日。值得一提的是，图为著名厨师多米尼克·安塞尔(Dominique Ansel)为π Day特别设计的苹果派。向下滚动浏览详细菜单。

资料来源:piday.org。

(附注:边肖当年亲自测试了这个配方。如果有小伙伴想在家里试试，边肖只能说...其实没有苹果的苹果派还是挺好吃的)

1 π的前世

π就是人们常说的圆周率，圆周率是一个数学常数，定义为圆的周长与直径之比。早在远古时代，人类就发现了一个圆的周长和直径之间存在着不可告人的秘密♂。出土文物表明，早在古巴比伦时期，当时的几何学家就已经把圆周率的数值计算到了25/8。

最早有记载的严谨算法可以追溯到公元前250年。古希腊数学家阿基米德用正多边形算法得到了π的下界和上界，分别是223/71和22/7，即3.140845

沉思的阿基米德

艺术家

年龄

类型

收集的土地

多梅尼科·费蒂

大约1620年

帆布油画

德累斯顿Altemeister珠宝店

阿基米德求圆周率的思路是先构造一个圆内接多边形和一个对应的外切多边形。当边数足够大时，两个多边形的周长会逼近圆的周长的上下界。

思考问题:如何证明22/7 >: π？

提示:

点击空偷看答案。

之后数学家们相继用切圆法和无穷级数法计算π的值。706年，英国天文学家约翰·梅钦能够利用格雷戈里-莱布尼茨级数生成的公式计算π的第100位小数。同年，威廉·琼斯在《新数学导论》中首次将π作为圆周率的专属符号，但正是由于莱昂哈德·欧拉，全世界的数学家才真正接受了这个设定。1736年，欧拉在《力学》一书中开始使用“π”这个符号，数学家们纷纷效仿。

莱昂哈德·欧拉(1707-1783)

艺术家

年龄

类型

收集的土地

雅各布·伊曼纽尔·汉德曼

大约1756年

演员化妆用油

慕尼黑德国博物馆

现代数学的先驱莱昂哈德·欧拉是历史上最伟大的数学家之一。法国数学家拉普拉斯曾这样评价欧拉的贡献:“读读欧拉，他是所有人的老师。”

特别是π的值为3.1415926535897，它不仅是一个无理数(即π是一个无限无环小数)，而且是一个超越数(所谓超越数是指不满足任何整系数多项式方程的实数的个数)。

“超越数”这个词来自欧拉在1748年的评论:“它们超出了代数方法的范围。”但是直到1844年，法国数学家约瑟夫·刘维尔才证明了它的存在。

没错，边肖引入超越数就是为了发这个表情...所以看到的同学不转发评论赞一下吗？

2切圆:优雅地计算π。

说到π的计算，就不得不提到著名的“切圆”。大约在公元265年，数学家刘徽创立了割圆术，用一个正3072边的多边形算出π的值为3.1416。后来在公元480年，祖冲之用割圆法计算了一个正12288边的多边形的边长，得到圆周率约等于355/113(即密度比)。在接下来的800年里，这些都是最精确的π估计。

图片来源:维基百科

祖冲之(429 ~ 500)，字，南北朝刘宋时期的数学家。祖冲之给出了两个分数值的圆周率:22/7(“近似率”)和355/113(“秘密率”)，后者将圆周率精确到小数点后第7位，这一记录直到一千多年后才被阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。

割圆原理现在看起来很简单，简单的小学数学就能演示出来。简而言之，就是把一个圆分成多边形。分段越细，多边形的边越多，多边形的面积越接近圆的面积。

图片:哔哩哔哩

当然，如果我们认为在刘徽、祖冲之时代，还有一个知识点亟待解决，那就是圆的面积与周长的关系。用同样的小学数学，我们得到N多边形的面积= N多边形的半周长×N多边形的外接圆半径。

“n边形面积= n边形半周长×n边形外接圆半径”的证明

当n最大时，其面积与圆的面积非常接近，即圆的面积=(圆的周长/2) ×半径。这样，圆的面积就成功地与周长联系起来了。使用Wolfram Cloud，可以直观的演示圆切割的操作过程。为什么不用Mathematica呢？远程办公室编辑器指示硬盘上没有足够的空空间安装大型软件而不卸载游戏)

知识点:圆切割的迭代算法

上一篇只是简单介绍了切圆的原理，实际操作中会遇到一些技术问题。这里简单介绍一下切圆的迭代算法，有兴趣的同学可以用计算机模拟一下(有时间的同学可以像祖冲之一样尝试用笔计算)。

如上图，以O为圆心做圆O，然后构造一个正多边形。原则上，多边形可以是任何边。不失一般性，这里是一个正六边形。从圆心O的某一边的中垂线OB，连线AB是圆O的内接正十二边形的边. OB与正六边形的边相交于点c .设|OC| = H，|CB| = h，|OA| = R，正六边形的边长= M，正十二边形的边长= | AB | = M .所以有

为了简化计算，设|OA| = R =1，则有

这样我们就得到了边长的迭代公式。

前面已经论证过“正多边形的面积=正多边形的半周长×正多边形的外接圆半径”，由定义可知pi为“圆的周长与其直径之比”，所以正多边形的面积(s)、边长(m)和外接圆半径(r)为

同样，设R =1，我们有

结合上面的迭代公式，很明显

这里m和π的下标n表示结果是在正n多边形的前提下得到的。显然，随着边数n的增加，得到的π值也接近π的真值。

3无穷级数:更优雅地计算π

割圆法计算圆周率的思路虽然简单，但是计算起来还是比较复杂，特别是过去不像边肖，可以用Mathematica计算圆周率。迄今为止，用多边形计算π最精确的结果是由奥地利天文学家克里斯托弗·格林伯格在1630年获得的。为此，格林伯格用正10的40次方(即1后面的40个零)计算了π的第38位小数。因此，新的想法出现了。

图片来源：wikipedia图片来源:维基百科

弗朗索瓦·韦达(左)、约翰·沃利斯(中)和戈特弗里德·莱布尼茨(右)。接下来介绍的方法就来自这三位大神。

吠陀的无限产物

图片来源：twitter@fetedayy图片来源:推特@fetedayy

给娃娃的警告:这里不能“禁止娃娃”~

维达给的其实不是无穷级数，而是无穷乘积。总的来说，维达的工作是欧洲最早的无穷项圆周率公式。虽然边肖暂时没有验证大卫最初是如何完成这个证明的，但是我们基本上可以用我们中学的数学知识来完成这个证明。证明的思路是双角公式。

等式两边同时除以x，有

在这里，我们需要使用一点大学内容来利用极限。

我们有

取x = π/2，我们很容易得到

沃利斯产品

沃利斯积，又称沃利斯公式，是由英国数学家约翰·沃利斯于1655年发现的。严格证明这个方程步骤有点繁琐(也就是说读者懒得看)，所以我们用欧拉(没错又是他！)处理巴塞尔问题时使用的技巧来证明这个等式。(这里值得一提的是，欧拉当年“解决”巴塞尔问题的方法现在看来是不完整的。)

首先，考虑正弦函数的麦克劳克林展开式:

两边除以x得到

考虑到方程sin (x)/x = 0的根位于x = …，-2π，-π，π，2π，…，则有

设x = π/2，

证明了该公式。

格雷戈里-莱布尼茨公式

上面提到的两种方法之所以出名，主要是因为它们提出的比较早。在实际计算过程中，人们更喜欢使用上述公式。它是莱布尼茨在1674年发现的，被称为格雷戈里-莱布尼茨公式。但是有朋友发现，这其实是arctan函数的麦克劳克林展开式。因为太有名了，相信大家都烂熟于心，这里就不介绍公式的证明了。当x为1时，反正切函数正好等于π/4，所以比前面的算法简单。

不过我要提醒那些想自己算的同学，格雷戈里-莱布尼茨公式虽然看似简洁，但是收敛速度很慢，所以现在基本不用它来计算圆周率。这里有一个印度传奇数学家Ramanujin给出的公式。

图片来源：wikipedia图片来源:维基百科

斯里尼瓦瑟·拉马努金是20世纪印度的一位传奇数学家。他一生没有接受过正规的高等数学教育，却有着极其敏锐的直觉。马努金经常直接给出公式而不做证明，但他的理论往往在事后被证明是对的。数学家哈代评论拉玛努金的公式，有些公式他一开始无法理解，但“它们必须是真实的，因为如果不是这样，就没有人能有足够的想象力去发明它们。”

鸡蛋时间:不雅的反面例子。

在写这篇文章的过程中，边肖突然想起来她曾看过一篇介绍圆周率的关于Renren.com的文章。边肖的一个朋友(没有朋友的警告)曾经相信过。

图片:reddit

边肖没有找到文章，但是发现有歪门邪道的人在讨论是一件乐事~

设p = ∞，确实使π = 4。但是上面的证明显然是错误的。考虑到圆周本质上是导数的积分，这个图的问题是一致收敛函数的导数可能不收敛。当然，这个问题也可以从测量的角度来考虑，但无论从哪个角度，都不太可能在一篇文章中解释清楚。(更何况文章又辣又长，没人愿意看。)所以让我们期待明年的3月14日，继续我们的π日说π ~(当然前提是读者先生们千万不要摘下来~ ~)

看了今天的科普，有些同学肯定会觉得还意犹未尽。那么问题来了，有没有这样一本书，既能深入浅出地解释科学定理背后的科学道理，又能还原它的历史？

央视《来吧未来》节目科学顾问曹则贤老师贡献巨大，包括数十个数学史和物理学史的精彩证明，涉及180多位名家。因材施教，鼓励年轻读者走先贤开辟的道路。

资料来源:外国研究科学出版社

编辑:姚峰

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