阶乘的最后一期也很有意思:从阶乘到伽玛函数再到非整数阶乘。从阶乘的定义出发，谈阶乘的计算、阶乘的解析延拓、伽玛函数、阶乘函数，力求深入浅出，突出数学的神秘、美丽和魅力。但由于阶乘函数是用定积分定义的，所以还是不太好理解。所以，今天专门讲这个话题。

阶乘函数的定义

阶乘函数定义为:

阶乘函数以积分的形式定义，其中被积函数

的自变量是u，x不是这里的自变量(x是阶乘函数的自变量)。显然这个函数没有原函数，否则根据积分的定义，阶乘函数就不需要用积分来定义了。

对数函数和

析因函数剖析

阶乘函数有一个定积分公式，它的被积函数f(u)由两部分组成，即

和

。

前者是自变量u的x次方(一开始假设x≥0)，是单调递增的；后者是负指数函数，单调递减。

先画一张图，分别使x=0.6，1，2，3，得到f(u)的曲线如下图所示:

看着上图，我们有以下结论:

1.当x取不同值时，不同的f(u)函数曲线有一个公共交点，这个交点的坐标为p (1，)；

2.f(u)开始时增加，x越小，开始时增加越快。这说明一开始就是f(u)的第一因子。

处于领导地位；

3.当u=x时，f(u)爬到山顶，得到最大值。这时，函数值开始迅速减小。此时，x越大，曲线下降越快。解释f(u)的第二个因子

开始处于主导地位；

4.从图中可以看出，x的不同引起的f(u)函数值的差异在u=14附近几乎可以忽略不计。因为第二个因素

是可积的，所以可以直观地判断f(u)也是可积的。

因为

所以，从X！的值等价于区间[0，+∞]上的曲线

和u坐标轴(f(u)=0)。

上图中，绿线下的面积就是5: 5的阶乘！=120，蓝色曲线下的面积是4的阶乘4！=24，橙区县的面积介于两者之间，所以可以表示为4和之间某数的阶乘(如图4.5！)。

所以阶乘的本质是面积，面积就是阶乘的几何意义。

根据阶乘函数的定义，我们得到

所以，数学上定义0！=1!=1比较合理。

关于实数的阶乘，你有什么不能理解的？

阶乘解析推广到实数域，妙处在于发现了这样一个函数(幂函数和指数函数的乘积)。

函数曲线和横坐标的面积和刚好可以匹配非负整数字段的阶乘值！！！这个函数的积分就是对数函数，也就是伽马函数。

然后我会找时间进一步看负数阶乘的几何意义。

去年的一滴相思之泪，今年刚刚流到我的脸颊。

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